已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣x+3（a≠0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．

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1. 已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²﹣x+3（a≠0）交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．

(1) 求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2) 若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P，A，D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）对称轴是直线x= $\text{[math]}$ ）

【考点】

相似三角形的判定与性质; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为抛物线上的点，且 $\text{[math]}$ 是直角三角形，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(3) 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，点 $\text{[math]}$ 为平面内任意一点，当以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是矩形，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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2. 如图，已知二次函数y=﹣x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥ x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2) 若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

(3) 点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写过程）．

综合题困难

3. 已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

(1) 当k=﹣1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图2），

①求CD的长；

②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

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