如图①，在正方形纸片ABCD中，E是AD的中点。将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，连结DF.

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1. 如图①，在正方形纸片ABCD中，E是AD的中点。将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，连结DF.

(1) 求证：∠BEF=∠DFE.

(2) 如图②，延长DF交BC于点G，求 $\text{[math]}$ 的值。

(3) 如图③，将△CDG沿DG 折叠，此时点C的对应点H恰好落在BE上。若记△BEF和△DGH重叠部分的面积为S₁ ，正方形ABCD的面积为s₂ ，求 $\text{[math]}$ 的值。

【考点】

平行四边形的判定与性质; 矩形的判定与性质; 正方形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：如图，∠ABC＝135°，AB＝a，BC＝b，点P是边AC上任意一点，连结BP，将△CPB沿PB翻折，得△C'PB.

(1) 若a＝ $\text{[math]}$ ，b＝6，∠C'PC＝90°，求CP的长；

(2) 连结AC'，当以A、B、P、C'为顶点的四边形是平行四边形时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

2. 如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．

(1) 求证：四边形BMNP是平行四边形；

(2) 线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

综合题困难

3. 如图1，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x.

(1) 当AM＝ $\text{[math]}$ 时，求x的值；

(2) 如图2，连接BM、过B点作BH⊥MN，垂足为H，求证：BM是∠ABH的角平分线；

(3) 随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

(4) 设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.

综合题普通