综合与实践：问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在中，，．

1. 综合与实践：

问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 操作发现：将 $\text{[math]}$ 折叠，使边 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点是点 $\text{[math]}$ ，折痕交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

②设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(2) 进一步探究发现： $\text{[math]}$ ，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明： $\text{[math]}$ ．

(3) 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．

如图1中的 $\text{[math]}$ 是黄金三角形．

如图2，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形较长对角线的长.

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 菱形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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实践探究题普通

1. 问题提出

（1）如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离为4，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为；

问题探究

（2）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的最大面积；

问题解决

（3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形 $\text{[math]}$ 为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则是否存在面积最大的四边形 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

实践探究题普通

2. 【知讯回原】

已知 $\text{[math]}$ 的面积为1．如图1，分别将 $\text{[math]}$ 边2等分， $\text{[math]}$ 是其分点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到四边 $\text{[math]}$ ．