如图1和2，矩形中，，，连接．点从点出发沿折线运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设点在折线上运动的路径长为．图1图2

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1. 如图1和2，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿折线 $\text{[math]}$ 运动，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，旋转角等于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 在折线 $\text{[math]}$ 上运动的路径长为 $\text{[math]}$ ．
图1

图2

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时，

①作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，如图17-1，求证： $\text{[math]}$ ；

②当点 $\text{[math]}$ 恰巧落在边 $\text{[math]}$ 上时，如图17-2，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 的过程中，直接写出 $\text{[math]}$ 长的最小值．

【考点】

三角形全等的判定; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 综合与实践

$\text{[math]}$ 纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是 $\text{[math]}$ ，我们定义：长宽之比是 $\text{[math]}$ 的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

(1) 如图1所示，矩形纸片 $\text{[math]}$ 是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与D重合，再展开，折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长，

(2) 如图2，在（1）的基础上，连接 $\text{[math]}$ 折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O，连接 $\text{[math]}$ 判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

(3) 探究发现：

如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点M， $\text{[math]}$ 交边于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 也是点O.然后将四边形 $\text{[math]}$ 剪下，探究纸片 $\text{[math]}$ 是否为“标准纸”，说明理由．