如图1，P为正方形内一点，，求的度数．小明同学的想法是：不妨设，，，设法把相对集中，于是他将绕点B顺时针旋转得到（如图2），然后连接，问题得以解决．

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1. 如图1，P为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

小明同学的想法是：不妨设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设法把 $\text{[math]}$ 相对集中，于是他将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ （如图2），然后连接 $\text{[math]}$ ，问题得以解决．

(1) 求出图2中 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 请你参考小明同学的方法，解答下列问题：
如图3，P是等边三角形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 勾股定理的逆定理; 旋转的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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实践探究题困难

1. 问题：如图 $\text{[math]}$ ，在等边三角形 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数和等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长．

赵明同学的思路是：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，画出旋转后的图形(如图②)，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 是等边三角形，而 $\text{[math]}$ 又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，还可根据 $\text{[math]}$ 的三边长度得到 $\text{[math]}$ 是直角三角形，进而求出等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为，问题得到解决．

解决下列问题：

(1) 根据赵明同学的思路填空： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为．

(2) 类比探究，如图③，在正方形 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求：① $\text{[math]}$ 的度数；②正方形 $\text{[math]}$ 的边长．

实践探究题普通

2. 阅读与理解：

图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（点C与点C′重合）的图形．
操作与证明：

(1) 操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2，在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；

(2) 操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3，在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；

(3) 猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？

实践探究题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：

(1) 经过多少时间， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，此时， $\text{[math]}$ 长为多少cm．

(2) 探究：是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，如果存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

实践探究题普通