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1.

(1) 【基础巩固】如图1，已知 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【尝试应用】如图2，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【拓展提高】如图3，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两条直角边长之比为 $\text{[math]}$ ，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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实践探究题困难

(1) [感知]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB中点，易知OA=OB=OC，则点A、B、C在以AB为直径的⊙O上．

[应用]如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：四边形ABCD有外接圆．

(2) [拓展]如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD=4，∠BCD=75°，

连结BD，则∠ABD的度数为，BD的长度为

(3) 如图④，连结AC，将△ABC沿AC翻折得△AEC，连结DE，则∠AED的度数为．DE的长度为

实践探究题普通

2. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“双等腰四边形”。

(1) 如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，E是BD的中点，连结AE，CE.

①试判断四边形ABCE是否为“双等腰四边形”，并说明理由.

②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数.

(2) 如图②，E是矩形ABCD内一点，F是边CD上一点，四边形AEFD是“双等腰四边形”，且AD=DE.延长AE交BC于点G，连结FG.若AD=5， $\text{[math]}$ 求AB的长。

实践探究题困难

3. （1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

① $\text{[math]}$ 的值为　　；

②∠AMB的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断 $\text{[math]}$ 的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB= $\text{[math]}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

实践探究题困难