如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 在2025年毕业季即将到来之际，学校准备开展“筑梦之旅，砥砺前行”活动，小泽同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间悬挂一条近似抛物线 $\text{[math]}$ 的彩带，如图2所示，已知墙 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 等高，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的水平距离 $\text{[math]}$ 为8米．

(1) 如图2，两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的高度是____________米，抛物线的顶点坐标为____________；

(2) 为了使彩带的造型美观，小泽把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙 $\text{[math]}$ 距离为3米，使抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点距墙 $\text{[math]}$ 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；

(3) 为了尽量避免人的头部接触到彩带，小泽现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线 $\text{[math]}$ 对应的二次函数的二次项系数始终为 $\text{[math]}$ ，若设点M距墙 $\text{[math]}$ 的距离为m米，抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点到地面的距离为n米，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出m的取值范围为____________．

综合题普通

2. 正在建设的北京环球影城主体乐园是世界第五个环球影城乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示， $\text{[math]}$ 为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米（轨道厚度忽略不计）．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数关系；

(2) 在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了 $\text{[math]}$ 米至K点，又进入下坡段 $\text{[math]}$ （接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线 $\text{[math]}$ 的形状与抛物线 $\text{[math]}$ 完全相同，在G到Q的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？

(3) 现需要在轨道下坡段 $\text{[math]}$ 进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架 $\text{[math]}$ ，且要求 $\text{[math]}$ ．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？

综合题困难

3. 数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形 $\text{[math]}$ 和抛物线形 $\text{[math]}$ 组成，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以水平线 $\text{[math]}$ 为x轴， $\text{[math]}$ 的中点O为原点建立平面直角坐标系．

(1) 求此门头抛物线部分的表达式；

(2) 改造时，为了加周，要在棚内梁 $\text{[math]}$ 的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长 $\text{[math]}$ ，问是否需要截取，截取多少？

综合题普通