如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，且点E在线段上，连接．

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1. 如图，将矩形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转得到矩形 $\text{[math]}$ ，且点E在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形全等的判定; 等腰三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 角平分线的概念;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在等腰三角形ABC中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 平分线AD上，过点 $\text{[math]}$ 作线段EF分别交BD，AC于点E，F，已知 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ 是AC的中点，求CF的值.

解答题普通

2. 如图，抛物线与x轴交于点和A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线解析式

（2）点P是抛物线BC段上一点，PD⊥BC，PE∥y轴，分别交BC于点D、E．当DE= $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标．

（3）M是平面内一点，将符合（2）条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后，点P、D、E的对应点分别是 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 的中点为N，当抛物线同时经过 $\text{[math]}$ 与N时，求出 $\text{[math]}$ 的横坐标．

解答题困难

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜边AB上取一点D，过点D作DE//BC，交AC于点E．现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得∠ABD+∠ACD=90°．

(1) ①求证：△ABD∽△ACE；

②若CD=1，BD= $\text{[math]}$ ，求AD的长；

如图3，将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件

不变，设 $\text{[math]}$ ，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值；

如图4，将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉，其它条件不变，若 $\text{[math]}$ ，设CD=m ， BD=n ， AD=p ，试探究m ， n ， p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

解答题普通