如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M ， N ，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　）

1. 如图，已知∠MON及其边上一点A ．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM ， ON于点B和C ．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B ．错误的是（）

A. S_△AOC＝S_△ABC B. ∠OCB＝90° C. ∠MON＝30° D. OC＝2BC

单选题容易

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，线段 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A. 5 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

3. 如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

单选题容易

1. 如图，等边三角形ABC， $\text{[math]}$ ， D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A. 3 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 6

单选题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内任意点， $\text{[math]}$ 分别是射线OA，和射线OB上的动点， $\text{[math]}$ 周长的最小值为8cm，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，在边长为8的等边三角形ABC中，点E是中线AD的中点，点F在AB边上，点G在AC边上，则由线段DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小值等于.

填空题普通

2. 如图，已知△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.请你说明△DEF是正三角形.

解答题普通

3.

由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．

填空题普通

1.

(1) 【初步感知】

如图1，已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B ，点C重合）．以AD为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接CE ．求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

图1 图2 图3

(2) 【类比探究】

如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段EC、AC、CD之间的数量关系为 ▲ ，请证明你的结论．

(3) 【拓展应用】

如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P是边AC上一定点且 $\text{[math]}$ ，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接CE、BE ．请问： $\text{[math]}$ 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．

综合题困难

2. 等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，则求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

①如图2，试判断线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由：

②如图3，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 点运动的过程中．当 $\text{[math]}$ 取最小值时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题困难

3. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线 $\text{[math]}$ 同旁有两个定点A、B，在直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的值最小.解法：如图1，作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点即为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .请利用上述模型解决下列问题：