有一矩形纸片，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为；

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1. 有一矩形纸片，按如图方式折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ；

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等腰三角形的判定; 勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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证明题普通

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．分别将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在同一直线上．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将矩形沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，折痕交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

(2) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

3. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 $\text{[math]}$ 页的练习中的第 $\text{[math]}$ 题．

点 $\text{[math]}$ 是矩形边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，矩形的两条边长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．求点 $\text{[math]}$ 到矩形的两条对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离之和．（提示：记对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ）．

(1) 【问题解决】小明发现：如图①，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，利用矩形对角线的性质 $\text{[math]}$ ，便可求出 $\text{[math]}$ 的值，请你运用小明发现的方法，求出点 $\text{[math]}$ 到矩形的两条对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离之和

(2) 【规律应用】如图②，当点 $\text{[math]}$ 是矩形边 $\text{[math]}$ 上任意一点时， $\text{[math]}$ _______．

(3) 【规律探究】如图③，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上任意一点时，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是 ______．

证明题普通