如图，在正方形中，为正方形内一点，，连结，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结．

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1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 勾股定理; 正方形的性质; 等腰直角三角形; 等腰三角形的性质-等边对等角;

【答案】

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综合题普通

1. △ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，

(1) 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．

(2) 图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s₁；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s₂（如图2），则s₂=；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s₃ ，继续操作下去…，则第10次剪取时，s₁₀=；

(3) 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

综合题普通

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

3. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上、点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证：∠F=45°；

(2) 如图2，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点M，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点N，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰直角三角形．

综合题普通