在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE ．

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1. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE ．

(1) 如图①，过点B作BF⊥AE于点G ，交直线CD于点F ．以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰Rt△CFH ，连接AH ， EH ．求证：△AEH是等腰直角三角形；

(2) 如图②，在（1）的条件下，记AH、EH分别交CD于点P、Q ，连接PE ．

①试探究PE、BE、DP之间的数量关系；

②设BE＝m ， △PQE中边PE上的高为h ，请用含m的代数式表示h ．并求h的最大值．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D，F分别在边AB，AC上.请写出线段BD，CF的数量和位置关系，并说明理由.

(2) 拓展探究：如图2，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转锐角θ时，上述结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

实践探究题普通

2. 【证明体验】

(1) 如图①，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【思考探究】如图②，在①的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 【拓展延伸】如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边AC，BC的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接AE，BF，试探究AE，BF之间存在怎样的数量关系和位置关系？

(1) 【特例探究】若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE，AC分别交于点M，N．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：

∵ $\text{[math]}$ ， E，F分别为AC，BC的中点，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （）

∴AEBF， $\text{[math]}$ ，又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AEBM．

(2) 【猜想证明】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF，BC分别交于点M，N，猜想AE与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；

(3) 【拓展运用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直线AE，BF相交于点M，当以点C，E，M，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长．

实践探究题困难