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(1) 【问题初探】

在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

①如图2，小明同学从结论出发给出如下的解题思路：过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为E ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，依据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 进行等量变换得出结论．

②如图3，小亮同学从条件出发给出如下的解题思路：过点C作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依据 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 得出结论．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；

(2) 【类比分析】

小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现，当点D在如图4的位置时（1）中的结论还成立，请你写出证明过程；

(3) 【学以致用】

赵老师在此基础上提出问题：若（1）中的点D在直线 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 时，画出草图并求出 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

勾股定理; 锐角三角函数的定义; 等腰直角三角形;

【答案】

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实践探究题困难

1. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3) 【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ 为线段AB上一点， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 于点C，P为射线CD上一点，连结PA，PB.

(1) 【发现、提出问题】

①当PC=3时，求 $\text{[math]}$ 的值.

②小亮发现PC取不同值时， $\text{[math]}$ 的值存在一定规律，请猜想该规律： ▲ .

(2) 【分析、解决问题】请证明你的猜想.

(3) 【运用】当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的周长.

实践探究题普通

(1) 【回顾】

如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于．

(2) 【探究】

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°= $\text{[math]}$ ，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°= $\text{[math]}$ ，请你写出小明或小丽推出sin75°= $\text{[math]}$ 的具体说理过程．

(3) 【应用】

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）

①点E在AD上，设t=BE+CE，求t²的最小值；

②点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．

实践探究题困难