用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形，．该沙发与地面的空隙为矩形，，．拖把杆为线段，长为， O为的中点，与所成角的可变范围是当大小固定时，若经过点G，或点A与点E重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度．

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1. 用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．该沙发与地面的空隙为矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．拖把杆为线段 $\text{[math]}$ ，长为 $\text{[math]}$ ， O为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角 $\text{[math]}$ 的可变范围是 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 大小固定时，若 $\text{[math]}$ 经过点G，或点A与点E重合，则此时 $\text{[math]}$ 的长即为沙发底部可拖最大深度．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求沙发底部可拖最大深度 $\text{[math]}$ 的长．（结果保留根号）

(2) 如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到 $\text{[math]}$ ，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度 $\text{[math]}$ 的长能否达到 $\text{[math]}$ ？（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【考点】

矩形的性质; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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解答题普通

1. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5 cm.

(1) 求∠ABC的度数．

(2) 测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5 cm.在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，sin 23.6°≈0.40， $\text{[math]}$ ≈1.414）

解答题困难

2. 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求反比例函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 如图，过点B的直线 $\text{[math]}$ 交反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象于点E，交y轴于点F，若 $\text{[math]}$ ，求矩形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通

3. 如图，在矩形ABCD中，点O是边AD上的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE=OF.

（1）当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2）若矩形ABCD的周长为20，四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在，请求出最大值；如果不存在，请说明理由．
（3）若AB=m，BC=n，当m.n满足什么条件时，四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）

解答题普通