在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，目满足

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1. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是原点，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴上，已知 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，目 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

(1) 直接写出B点坐标。

(2) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位的速度运动至 $\text{[math]}$ ，同时动点 $\text{[math]}$ 沿线段AO从A向0以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为t秒连接OM、BN、CN、AM。①求证：四边形MENF是平行四边形。

②当 $\text{[math]}$ ▲ 时，四边形MENF是矩形？

(3) 如图2将矩形OABC沿着AP折叠，O对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在BC边上，求OP长；

(4) 如图3，N为OC边的中点，Q是任意的一点。当 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出QN的取值范围

【考点】

二次根式有意义的条件; 坐标与图形性质; 平行四边形的判定与性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，作 $\text{[math]}$ 交对角线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的表达式，并求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(2) 在（1）的条件下，矩形 $\text{[math]}$ 边上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

(3) 如图2，当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的角平分线上时，此时 $\text{[math]}$ ___________．（用 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

解答题困难

2. （1）如图1，点 $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ________；

（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

（3）如图3，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点（点 $\text{[math]}$ 不在 $\text{[math]}$ 上），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与各边分别相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ 的面积（用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．