综合与实践

1. 综合与实践

(1) 【课本再现】

如图①，正方形ABCD的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点.在实验与探究中，小州发现通过证明 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ .请帮助小州完成证明过程.

(2) 【类比探究】

如图②，若四边形ABCD是矩形， $\text{[math]}$ 为对角线BD上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交BC于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .

(3) 如图③，若四边形ABCD是平行四边形， $\text{[math]}$ 为对角线BD上任意一点，点 $\text{[math]}$ 在BC上，且 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$

【考点】

三角形全等的判定; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题原型】数学老师给学生布置了下面这个问题：

如图①，在等边 $\text{[math]}$ 中，点D为边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转60°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

(1) 【问题解决】小明的想法：连接 $\text{[math]}$ ，利用三角形全等证明线段相等.

小亮的想法：在边 $\text{[math]}$ 上取点F，使 $\text{[math]}$ ，利用三角形全等证明线段相等.

在小明或小亮两人的方法中选择一种解决问题原型中的问题.

(2) 【类比应用】如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转90°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .判断线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

(3) 【拓展延伸】如图③，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为边 $\text{[math]}$ 延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转90°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

实践探究题普通

2. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1) [观察与猜想]

如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为＝；

(2) 如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

(3) [性质探究]

如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．求证： $\text{[math]}$ ；