在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ， D为BC的中点，E ， F分别为AC ， AD上任意一点，连接EF ，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ， AG ．

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1. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 $\text{[math]}$ ， D为BC的中点，E ， F分别为AC ， AD上任意一点，连接EF ，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ， AG ．

(1) 如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B ，若点P为FG的中点，连接PD ，求PD的长；

(2) 如图2，EF的延长线交AB于点M ，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF ，求证：AM+AF $\text{[math]}$ AE；

【考点】

勾股定理; 旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-AAS; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 探究：如图1和图2，四边形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

(1) ①如图1，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是直角，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转90°至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系 ▲ ；

②如图2，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都不是直角，但满足 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间①中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(2) 拓展：如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

(1) 如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD，DE，CE之间的等量关系式是；(无须证明)

(2) 如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE＝45°，试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论．

综合题普通

3. 与探究，如图，△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，且 $\text{[math]}$ ，把另一个直角三角形的直角顶点放在点D处，两条直角边DM，DN分别交AB，AC于点E，F．把Rt△DMN绕点D转动，保持点E，F分别在线段AB，AC上（不与点A，B，C重合）．

(1) 请你判断DE与DF之间的数量关系并说明理由．

(2) 求四边形DEAF的面积．

(3) 求点E、F到线段BC的距离之和．

综合题困难