如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点．

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1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的平行线，交拋物线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点 $\text{[math]}$ 时，新拋物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为新拋物线上的一点，连接 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标，并写出求解点 $\text{[math]}$ 的坐标的其中一种情况的过程．

【考点】

二次函数图象的几何变换; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-面积问题;

【答案】

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综合题困难

1. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相对点”．例如，点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图象的“相对点”．

(1) 分别判断函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象上是否存在“相对点”，如果存在，求出“相对点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2) 若抛物线 $\text{[math]}$ 有两个“相对点”为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），当 $\text{[math]}$ 的面积为10时，求抛物线的解析式；

(3) 若函数 $\text{[math]}$ 的图象记为 $\text{[math]}$ ，将其沿直线 $\text{[math]}$ 翻折后的图象记为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两部分组成的图象上恰有3个“相对点”时，求m的值．

综合题困难

2. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为二次函数图象的顶点.

(1) 求二次函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 在下图中画出二次函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象；

(3) 把(1)中的二次函数 $\text{[math]}$ 的图象平移后得到新的二次函数 $\text{[math]}$ 为常数)的图象，定义新函数f：“当自变量 $\text{[math]}$ 任取一值时， $\text{[math]}$ 对应的函数值分别为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的函数值等于 $\text{[math]}$ 中的较小值；如果 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的函数值等于 $\text{[math]}$ (或 $\text{[math]}$ )."新函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴的交点最多有几个?并求出此时 $\text{[math]}$ 的取值范围.

综合题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OC＝2OB，点 D 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合)，过点 D 作矩形 DEFH，点 H、F 在抛物线上，点 E 在 x 轴上.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当矩形 DEFH 的周长最大时，求矩形 DEFH 的面积；

(3) 在（2）的条件下，矩形 DEFH 不动，将抛物线沿着 x 轴向左平移 m 个单位，抛物线与矩形 DEFH的边交于点 M、N，连接 M、N.若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面积，求 m 的值.

综合题困难