在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为1，对于 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是 $\text{[math]}$ 的切线，则称点 $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 的“关联点”．

(1) 已知点 $\text{[math]}$ ．

①如图1，若 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，弦 $\text{[math]}$ 的“关联点”是______；

②如图2，若点 $\text{[math]}$ ，点C是 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ 的“关联点”，直接写出 $\text{[math]}$ 长；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 是以点D为圆心，以1为半径的 $\text{[math]}$ 的直径，对于线段EF上任意一点S，存在 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ ，使得点S是弦 $\text{[math]}$ 的“关联点”．当点S在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，将其对应的弦 $\text{[math]}$ 长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围．

【考点】

勾股定理; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点B出发，沿折线B→A→C路线，以5cm/s的速度匀速运动到点C停止，动点 Q从点C出发，沿折线C→B→A路线，以4cm/s的速度匀速运动到点A停止．点P，点Q同时出发，运动时间为t秒，以PQ为直径作⊙O：

（1）当点P在边AB上运动，点Q在边CB上运动时，⊙O与BC相切，求t的值；

（2）当⊙O与AB相切时，求t的值．

解答题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，我们给出如下定义：对于两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，平面直角坐标系中存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”．例如：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”．

(1) 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．下列是线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”的有；

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$

(2) 如图2，已知直线 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若x轴上存在线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”，求m的取值范围；

(3) 如图3，二次函数 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、B两点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方一点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题普通

3. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （a，b为常数， $\text{[math]}$ ）与y轴交于点C，点P为二次函数图象上一动点，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ （t为常数）作直线l垂直于y轴．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与直线l交于A、B两点．

①填空：当点P与点C重合时，点M的坐标为， t的取值范围为；

②是否存在实数t，使 $\text{[math]}$ 的长为定值，若存在，求出t的值，若不存在请说明理由；

(2) 若不论P如何运动， $\text{[math]}$ 与直线l始终相切，当 $\text{[math]}$ 时，求b的值．

解答题普通