两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根．

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1. 两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数 $\text{[math]}$ 的图像与函数 $\text{[math]}$ 的图像交点的横坐标可视为方程 $\text{[math]}$ 的根．

(1) 函数 $\text{[math]}$ 的图像与函数 $\text{[math]}$ 的图像有两个不同交点，求 $\text{[math]}$ 取值范围．

(2) 已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．

①设直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 有两个不同交点，求 $\text{[math]}$ 取值范围．

②已知点 $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个公共点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

一元二次方程根的判别式及应用; 反比例函数与一次函数的交点问题;

【答案】

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解答题普通

1. 一次函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限交于A，B两点，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 求反比例函数表达式；

(2) 若把一次函数 $\text{[math]}$ 的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象只有一个交点，请求出b的值．

解答题普通

2. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 且与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；

(2) 根据函数图象观察，直接写出当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系；

(3) 若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象过点A，且与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象有且仅有一个交点，求m的值．

解答题普通

3. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，从古代的大理石殿堂到现代的钢铁森林，它的魅力在于其无限的可能性.近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．

图2为某广东厂家设计制造的双曲铝单板建筑的横截面，可以看作由两条曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （反比例函数图象的一支）和若干线段围成，其中四边形 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 均为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2所示，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系．

请回答下列问题：

(1) 如图2，求 $\text{[math]}$ 所在双曲线的解析式；

(2) 如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架 $\text{[math]}$ ，并加装了始终垂直于 $\text{[math]}$ 的伸缩机械臂 $\text{[math]}$ 用来雕刻 $\text{[math]}$ 所在曲面的花纹，请问点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上滑动过程中， $\text{[math]}$ 最长为多少米？

(3) 如图4，为通风透气避免潮湿，在某一时刻，打开遮光板 $\text{[math]}$ ，太阳光线经点 $\text{[math]}$ 恰好照射到点 $\text{[math]}$ ，请求出此时线段 $\text{[math]}$ 上光线无法直射部分即线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通