如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与y轴、x轴正半轴于A、B两点．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 分别与y轴、x轴正半轴于A、B两点．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 如图1，将抛物线 $\text{[math]}$ 沿它的对称轴向下平移，使得平移后的抛物线顶点刚好落在直线 $\text{[math]}$ 上，求平移后抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在平面中找一点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 二次函数图象的几何变换; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 在平面直角坐标系中，若点 $\text{[math]}$ 的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点 $\text{[math]}$ 为“相反点”，如点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“相反点”．

(1) 小清认为所有的“相反点”都在同一条直线 $\text{[math]}$ 上，请直接写出直线 $\text{[math]}$ 的解析式：．

(2) 小芳在研究抛物线 $\text{[math]}$ 时，发现它的图像上有且只有一个“相反点” $\text{[math]}$ ．请你帮她求出 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 在（2）的条件下将抛物线 $\text{[math]}$ 向上平移 $\text{[math]}$ 个单位得到抛物线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 上有两个“相反点”分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）．

①求 $\text{[math]}$ 的值；

②当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差．

解答题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将L沿直线 $\text{[math]}$ 向上平移，平移后的抛物线记作 $\text{[math]}$ ，其顶点M的横坐标为t（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），设直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 分别交于点P，Q（点P在点Q的左侧）．

(1) 求L的顶点坐标及A，B两点之间的距离；

(2) 当点P在y轴上时，求 $\text{[math]}$ 的函数表达式及线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若经过点A且与直线l平行的直线与线段 $\text{[math]}$ 有公共点，直接写出t的最大值．

解答题困难

3. 如图1，抛物线C： $\text{[math]}$ 交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出抛物线C的解析式；

(2) D在第二、四象限的抛物线C上，在抛物线C的对称轴上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 如图2，将抛物线C向右平移1个单位长度，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，直线． $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于M，N两点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 都只有唯一公共点，直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴于S，T两点，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求k的值．

解答题困难