如图①②③，正方形的边长为3，M，N是边上的两点，且，连接．

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1. 如图①②③，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为3，M，N是边 $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是________，位置关系是________；

(2) 如图②，若E，F分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图③，延长 $\text{[math]}$ 至点P，连接 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形的中位线定理;

【答案】

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证明题普通

1. 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作 $\text{[math]}$ ，交边CD于点F，若 $\text{[math]}$ ，求BE的长．

下面是小明、小华和小东三位同学关于本题不同视角下的部分思维过程：

小明：从直线BD是正方形的对称轴角度看，连接EC，如图2，则 $\text{[math]}$ ， ∠ECD＝∠EAD，又 $\text{[math]}$ ， ……

小华：从 $\text{[math]}$ 的角度看，可以过点E作BC的平行线，交AB、CD于M、N，如图3，通过证明 $\text{[math]}$ ， ……

小东：从 $\text{[math]}$ 的角度看，还可以过点E作BD的垂线，交DC的延长线于点P，如图4，……

请结合上面的思路，求BE的长．

证明题普通

2. （1）如图1，已知正方形 $\text{[math]}$ ，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，当直角的一边与 $\text{[math]}$ 相交于点E，另一边与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F时，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，将图1中的直角改为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的一边与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点E，另一边与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请加以证明．

证明题普通

3. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为CD边上一点，F为 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

证明题普通