综合与实践【问题背景】如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处．【问题解决】

1. 综合与实践

【问题背景】

如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为边 $\text{[math]}$ 上一点，沿直线 $\text{[math]}$ 将矩形折叠，使点C落在 $\text{[math]}$ 边上的 $\text{[math]}$ 处．

【问题解决】

(1) 填空： $\text{[math]}$ 的长为______；

(2) 如图（2），展开后，将 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 向右平移，使点 $\text{[math]}$ 的对应点与点B重合，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 【拓展探究】如图（3），在 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 向右平移的过程中，设点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上截得的线段 $\text{[math]}$ 的长度为1时，直接写出平移的距离．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 平移的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

【问题情景】

数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）小红将矩形纸片 $\text{[math]}$ 按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边 $\text{[math]}$ 的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

【探究与实践】

（2）小亮受到此问题的启发，用矩形 $\text{[math]}$ （如图②），继续探究，过程如下：

操作一：将矩形 $\text{[math]}$ 对折，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，将纸片展平；

操作二：将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 上的点M处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点N．

① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【拓展应用】

（3）小明深入研究并提出新的探究点

将矩形纸片 $\text{[math]}$ 换为正方形纸片 $\text{[math]}$ （如图③），边长为8，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在正方形内一点M，过点M作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点E、F，将纸片展平，当点P为 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. （1）初步探究

如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 处，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）类比探究

如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 外部一点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）延伸探究

如图③，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在平面上一点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 边的距离等于1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 【问题背景】

如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，沿直线 $\text{[math]}$ 将矩形折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处．

【问题解决】

（1） $\text{[math]}$ 的长为________；

（2）如图②，展开后，将 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 向右平移，使点 $\text{[math]}$ 的对应点与点 $\text{[math]}$ 重合，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

【拓展探究】

（3）将图①中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转得 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对应点分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通