综合与实践【问题情景】数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．（1）小红将矩形纸片按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则．【探究与实践】（2）小亮受到此问题的启发，用矩形（如图②），继续探究，过程如下：操作一：将矩形对折，使与重合，折痕为，将纸片展平；操作二：将矩形纸片沿折叠，使点A落在上的点M处，延长交的延长线于点N．① ②若，，求的长．【拓展应用】（3）小明深入研究并提出新的探究点将矩形纸片换为正方形纸片（如图③），边长为8，将矩形纸片沿折叠，使点A落在正方形内一点M，过点M作，分别交、于点E、F，将纸片展平，当点P为中点时，求的长．

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1. 综合与实践

【问题情景】

数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）小红将矩形纸片 $\text{[math]}$ 按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边 $\text{[math]}$ 的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

【探究与实践】

（2）小亮受到此问题的启发，用矩形 $\text{[math]}$ （如图②），继续探究，过程如下：

操作一：将矩形 $\text{[math]}$ 对折，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，将纸片展平；

操作二：将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 上的点M处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点N．

① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【拓展应用】

（3）小明深入研究并提出新的探究点

将矩形纸片 $\text{[math]}$ 换为正方形纸片 $\text{[math]}$ （如图③），边长为8，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在正方形内一点M，过点M作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点E、F，将纸片展平，当点P为 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点P，则线段 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

2. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易