已知中，，且， M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的始终过点M，且交线段于点E．

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1. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， M为线段 $\text{[math]}$ 的中点，作 $\text{[math]}$ ，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，点Q在线段 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 始终过点M，且 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点E．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值；（提示：连接 $\text{[math]}$ ）

(3) 当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以顶点 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰 $\text{[math]}$ 在正方形外部绕点 $\text{[math]}$ 旋转， $\text{[math]}$ ．

(1) 求点D与点E之间的最大距离；

(2) 当 $\text{[math]}$ 最大时，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 在 $\text{[math]}$ 旋转过程中，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 存在交点G，连接 $\text{[math]}$ ，若M是 $\text{[math]}$ 的中点，P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点C为 $\text{[math]}$ 的中点，点D为 $\text{[math]}$ 上一点（不与 $\text{[math]}$ 重合）．连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点E．

(1) 当点D在 $\text{[math]}$ 上时，

①求 $\text{[math]}$ 的度数．

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，记 $\text{[math]}$ ，作点D关于直径 $\text{[math]}$ 的对称点F，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值（用含a的代数式表示）．

解答题困难

3. （1）如图1，已知线段 $\text{[math]}$ ，平面内有一动点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为______．

（2）如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一动点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

（3）某工厂计划加工如图3所示的 $\text{[math]}$ 零件，要求 $\text{[math]}$ 分米， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请你帮工人师傅计算 $\text{[math]}$ 是否存在最小值，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

解答题困难