在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将中心为 $\text{[math]}$ 的等边三角形记作等边三角形 $\text{[math]}$ ，对于等边三角形 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ 重合）给出如下定义：若等边三角形 $\text{[math]}$ 的边上存在点N，使得直线 $\text{[math]}$ 与以 $\text{[math]}$ 为半径的⊙ $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为等边三角形 $\text{[math]}$ 的“相关切点”．

(1) 如图，等边三角形 $\text{[math]}$ 的顶点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，等边三角形 $\text{[math]}$ 的“相关切点”是；

②若直线 $\text{[math]}$ 上存在等边三角形 $\text{[math]}$ 的“相关切点”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ．若存在等边三角形 $\text{[math]}$ 的两个“相关切点” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得△ $\text{[math]}$ 为等边三角形，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 等边三角形的性质; 切线的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 上的任意一点，点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 上的任意一点，若存在直线 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 就是图形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“楚河汉界线”．例如：如图 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像与正方形 $\text{[math]}$ 的一条“楚河汉界线”．

(1) 在直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 中，是图 $\text{[math]}$ 函数 $\text{[math]}$ 的图像与正方形 $\text{[math]}$ 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，第一象限的等腰直角 $\text{[math]}$ 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；

(3) 正方形 $\text{[math]}$ 的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点 $\text{[math]}$ 是此正方形的中心，若存在直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像与正方形 $\text{[math]}$ 的“楚河汉界线”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的轴垂线，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求一次函数的表达式；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通

3. 如图，已知一次函数y₁＝ax+b的图象与x轴、y轴分别交于点D、C，与反比例函数y₂＝ $\text{[math]}$ 的图象交于A、B两点，且点A的坐标是（1，3）、点B的坐标是（3，m）．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求C、D两点的坐标，并求△AOB的面积；

（3）根据图象直接写出：当x在什么取值范围时，y₁＞y₂？

解答题普通