在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

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1. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1) 如图1，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 于点E、F．

①求证： $\text{[math]}$ ．

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求折痕 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，点C、D分别落在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当点E为 $\text{[math]}$ 的三等分点时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

平行线的性质; 勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 课本再现：

(1) 下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：

※5．如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F求 $\text{[math]}$ 的值．

如图1，连接PO ，利用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和是矩形面积的 $\text{[math]}$ ，可求出 $\text{[math]}$ 的值，

请你写出求解过程．

(2) 知识应用：

如图，在矩形ABCD中，点M ， N分别在边AD ， BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处．

①如图2，P为线段MN上一动点（不与点M ， N重合），过点P分别作直线BM ， BC的垂线，垂足分别为E和F ，以PE ， PF为邻边作平行四边形PEGF ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平行四边形PEGF的周长．

②如图3，当点P在线段MN的延长线上运动时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请写出GF与GE之间的数量关系：_▲_（用含m ， n的式子）

实践探究题困难

2. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．

了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC⊥BD ．垂足为O ，则有：AB²+CD²＝AD²+BC²；

（图1）（图2）（图3）

（图4）（图5）

(1) 性质应用：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2，BC=4，CD=3，则AB=；

(2) 性质变式：如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP²+CP²＝BP²+DP² ．请以图3为例将重要结论证明出来．

(3) 应用变式：①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为BO中点，则 $\text{[math]}$ ；(写出证明过程）

②如图5，在∆ABC中，CA=4，CB=6，D是∆ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则AB的最小值是．

实践探究题困难

3. 矩形折叠探究

在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一点．

(1) 如图1，王欢在边 $\text{[math]}$ 上取一点N，将纸片沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点C落在边 $\text{[math]}$ 上，记为点P，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，张乐在边 $\text{[math]}$ 上取一点N，将纸片沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，当点C与点A重合时，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通