如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．

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1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点E，交 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的周长是线段 $\text{[math]}$ 长度的2倍时，求点P的坐标；

(3) 当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点M．当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点Q的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 解直角三角形; 二次函数-动态几何问题; 三角形全等的判定-AAS; 同侧一线三垂直全等模型;

【答案】

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综合题困难

1. 将抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 如图1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上方的抛物线 $\text{[math]}$ 上运动（不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，在抛物线 $\text{[math]}$ 上，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．

综合题困难

2. 在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

(1) 求这个二次函数的解析式；

(2) 点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

(3) 点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于点． $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 若点D在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

(3) 若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且 $\text{[math]}$ ，直接写出点P的坐标．

综合题困难