【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．【问题感知】（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）【问题初探】（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；【问题推广】（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）

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1. 【问题背景】如图1，已知射线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“量尺金线”．

【问题感知】

（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）

【问题初探】

（2）如图2， $\text{[math]}$ ．若射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“量尺金线”，则 $\text{[math]}$ 的度数为________；

【问题推广】

（3）在（2）中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 位置开始，以每秒旋转 $\text{[math]}$ 的速度绕点P按逆时针方向旋转，当 $\text{[math]}$ 首次等于 $\text{[math]}$ 时停止旋转，设旋转的时间为 $\text{[math]}$ ．当t为何值时，射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）

【考点】

角的运算; 角平分线的性质;

【答案】

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实践探究题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，点O，A，B在同一直线上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

解答题容易

2. 如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数？

解答题容易

3. 如图∠COD=116°，∠BOD=90°，OA平分∠BOC，求∠AOD的度数．

解答题容易

1. 【动手实践】

在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．

请你利用一副含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 和含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 尝试完成探究．

【实验操作】

（1）如图1，边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 重合摆成图1的形状，则 $\text{[math]}$ ______度；

（2）保持三角板 $\text{[math]}$ 不动，将 $\text{[math]}$ 角的顶点与三角板 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 角的顶点重合，然后摆动三角板 $\text{[math]}$ ，请问：当 $\text{[math]}$ 是多少度时， $\text{[math]}$ ？请说明理由；（ $\text{[math]}$ ）

【拓展延伸】

（3）试探索：保持三角板 $\text{[math]}$ 不动，将 $\text{[math]}$ 角的顶点与三角板 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 角的顶点重合，然后摆动三角板 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的 $\text{[math]}$ 的度数． $\text{[math]}$

实践探究题普通

2. 在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．

(1) 如图①，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则可以用含 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子直接表示 $\text{[math]}$ 的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明．

实践探究题普通

3. 解答下列问题．

(1) 【探索新知】

如图1，射线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，图中共有 $\text{[math]}$ 个角： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”．

①一个角的平分线这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）

②如图2，若 $\text{[math]}$ ，且射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”，则 $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示出所有可能的结果）

(2) 【深入研究】

如图2，若 $\text{[math]}$ ，且射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 位置开始，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，当与 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 时停止旋转，旋转的时间为 $\text{[math]}$ 秒．

①当 $\text{[math]}$ 为何值时，射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”．

②若射线 $\text{[math]}$ 同时绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，并与 $\text{[math]}$ 同时停止．请直接写出当射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“巧分线”时 $\text{[math]}$ 的值．