综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.

1. 综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.

(1) 折一折、猜想计算：

如图①：把边长为8的正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，展开后得到折痕 $\text{[math]}$ .

如图②：将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿经过点A的直线折叠，使点D落在 $\text{[math]}$ 上的点N处，展开后连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

图②中，△AND为三角形，线段 $\text{[math]}$ ；

(2) 折一折、类比探究：如图③将正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使点D落点F处，折痕与 $\text{[math]}$ 边交于点M ，与 $\text{[math]}$ 边交于点N ，展开后连接 $\text{[math]}$ .

①猜想线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 之间的关系；

②CM=；

(3) 折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿经过点A的直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点D落在正方形纸片 $\text{[math]}$ 内部的点N处，折痕与 $\text{[math]}$ 边交于点M ，展开后延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.

猜想BG与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _▲_.

【考点】

三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.

(1) （探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上， $\text{[math]}$ ，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.

(2) （验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：

思路一：过点A作 $\text{[math]}$ ，交CD的延长线于点G.

思路二：过点A作 $\text{[math]}$ ，并截取 $\text{[math]}$ ，连接DG.

思路三：延长CD至点G，使 $\text{[math]}$ ，连接AG.

请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.

(3) （迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，试用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示DF的长.

实践探究题困难

2. 综合与实践：

如图1，已知正方形纸片ABCD．

实践操作

第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．

第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．

问题解决

（1） $\text{[math]}$ 的度数是______；

（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；

探索发现

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 【课本再现】

(1) 如图 1，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为 1 ，四边形 $\text{[math]}$ 为两个正方形重叠部分，正方形 $\text{[math]}$ 可绕点 $\text{[math]}$ 转动，则下列结论正确的是(填序号即可).

① $\text{[math]}$

② $\text{[math]}$

③四边形 $\text{[math]}$ 的面积总等于 $\text{[math]}$ ；

④连接 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ .

(2) 【类比迁移】

如图 2，矩形 $\text{[math]}$ 的中心 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 可绕着点 $\text{[math]}$ 旋转，猜想 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并进行证明；

(3) 【拓展应用】

如图 3，在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直角 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的中点处，它的两条边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 可绕着点 $\text{[math]}$ 旋转，当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

实践探究题困难