综合与实践：如图1，已知正方形纸片ABCD．实践操作第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．问题解决（1）的度数是______；（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；探索发现（3）如图3，若，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求的值．

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1. 综合与实践：

如图1，已知正方形纸片ABCD．

实践操作

第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．

第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．

问题解决

（1） $\text{[math]}$ 的度数是______；

（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；

探索发现

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形（长方形）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折，使点B落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点D，求点D的坐标．

解答题容易

2. 如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽 $\text{[math]}$ 米，高 $\text{[math]}$ 米，且 $\text{[math]}$ ，长 $\text{[math]}$ 米，棚的斜面用矩形玻璃 $\text{[math]}$ 遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题容易

3. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长？”

综合题容易

1. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内

请根据表格信息，解答下列问题．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 若想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，则在 $\text{[math]}$ 长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？

实践探究题普通

2. 在数学学习中，观察 $\text{[math]}$ 实验 $\text{[math]}$ 猜想 $\text{[math]}$ 证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：

【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为 $\text{[math]}$ ，斜边为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．对于一般的三角形 $\text{[math]}$ ，三边长分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其边长的平方是否也存在某种关系．

【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：

当 $\text{[math]}$ 是锐角三角形时，三边之间的关系是： $\text{[math]}$ ；

当 $\text{[math]}$ 是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．

【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．这样就把锐角 $\text{[math]}$ 分成了两个直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．

以下是小组成员的证明过程：

如图①，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ② ， $\text{[math]}$ ② ．

化简得， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

（1）其中，①是_______；②是_______．

【知识迁移】（2）如图②，当 $\text{[math]}$ 是钝角三角形时，请证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系．

实践探究题普通

3. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．

报告	测量风筝的垂直高度 $\text{[math]}$
成员	组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具	皮尺等
示意图
方案	先测量水平距离 $\text{[math]}$ ，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长 $\text{[math]}$ ，最后测量放风等的同学的身高 $\text{[math]}$
数据	$\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米
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