如图 1，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是中点，连接。

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1. 如图 1，把一个含 $\text{[math]}$ 的直角三角板 $\text{[math]}$ 和一个正方形 $\text{[math]}$ 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 $\text{[math]}$ 重合，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 。

(1) 如图 1，点 $\text{[math]}$ 分别在正方形的边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ . 则 $\text{[math]}$ 的数量关系是； $\text{[math]}$ 的位置关系是；

(2) 如图 2，将图 1 中直角三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时，其他条件不变， (1) 中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由.

(3) 如图 3，将图 1 中直角三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，其他条件不变，若 $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的最小值.

【考点】

平行线的性质; 三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 已知点F是等边△ABC的边BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与等边△ABC在BC的同侧，且CD∥AB，连结BE．

(1) 如图①，若AB=10，EF=8，请计算△BEF的面积；

(2) 如图②，若点G是BE的中点，连接AG、DG、AD．试探究AG与DG的位置和数量关系，并说明理由．

综合题困难

2. 如图 1，在正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在同一条直线上， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置和数量关系.

(2) 如图 2，将原问题中的正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 换成菱形 $\text{[math]}$ 和菱形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；

(3) 如图 3，将图 2 中的菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，使菱形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 恰好与菱形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变. 你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

综合题困难

3. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在AC的左侧作正方形ACED，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为点F，交AC于点G．

(1) 求证：CG＝CB；

(2) 若点G是AC的中点，EC的长为2，求BF的长．

综合题普通