如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为．

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1. 如图1，某玩具风车的支撑杆 $\text{[math]}$ 垂直于桌面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为风车中心， $\text{[math]}$ ，风车在风吹动下绕着中心 $\text{[math]}$ 旋转，叶片端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 四等分，已知 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ．

(1) 风车在转动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左侧，如图2所示，求点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离（结果保留根号）；

(2) 在风车转动一周的过程中，求点 $\text{[math]}$ 到桌面的距离不超过 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 所经过的路径长（结果保留 $\text{[math]}$ ）；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，求切线长 $\text{[math]}$ 的值，并直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到桌面 $\text{[math]}$ 的距离的差．

【考点】

勾股定理; 切线的性质; 弧长的计算; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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综合题困难

1. 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．

【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具．

【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．

(1) 求A， $\text{[math]}$ 两点间的距离；

(2) 求该条待建环山路的长度（结果保留 $\text{[math]}$ ）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

综合题普通

2. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为 $\text{[math]}$ 的筒车 $\text{[math]}$ 按逆时针方向每分钟转 $\text{[math]}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．

(1) 求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；

(2) 求浮出水面 $\text{[math]}$ 秒时，盛水筒P到水面的距离；

(3) 若接水槽 $\text{[math]}$ 所在直线是 $\text{[math]}$ 的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点M， $\text{[math]}$ ，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线 $\text{[math]}$ 上．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

综合题普通

3. 北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛由圜丘、祈谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图1）最下层圆形石坛的直径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲尺，制定了测算方案并画出了示意图.

直角曲尺的短边 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，在测量时，用直角曲尺的长边 $\text{[math]}$ 贴紧圆形石坛的边缘，并使短边 $\text{[math]}$ 与圆形石坛的边缘接触，此时长边 $\text{[math]}$ 与圆形石坛的接触点记为点D，量得 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，示意图如图2所示.请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径.

综合题普通