如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，为对角线，其中．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限， $\text{[math]}$ 为对角线，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点B，C的坐标；

(2) 求 $\text{[math]}$ 所在直线的解析式；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ ，问：在直线AC上是否存在一点P，使得 $\text{[math]}$ 最小？若存在，求点P的坐标与 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】

坐标与图形性质; 勾股定理; 正方形的性质; 一次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题普通

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：如果图形 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 的“拉手点”．已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，线段 $\text{[math]}$ 的“拉手点”是______；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 上存在线段 $\text{[math]}$ 的“拉手点”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 的对角线的交点，若正方形 $\text{[math]}$ 上存在线段 $\text{[math]}$ 的“拉手点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ ），则称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 属派生点”．例如： $\text{[math]}$ 的“2属派生点”为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

(1) 点 $\text{[math]}$ 的“2属派生点” $\text{[math]}$ 的坐标为　　；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在x轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 属派生点”为 $\text{[math]}$ 点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 值；

(3) 如图，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点A在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，且点A是点B的“ $\text{[math]}$ 属派生点”，当线段 $\text{[math]}$ 最短时，求B点坐标．

解答题普通

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，如果在图形 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可以重合）使得 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 的一对平衡点．

(1) 如图1，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①设点 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 上一点的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是　　，最大值是　　；

②在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个点中，与点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的一对平衡点的是　　；

(2) 如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于 $\text{[math]}$ 轴，对角线的交点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 在第一象限，且点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是正方形的一对平衡点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为 $\text{[math]}$ ．若线段 $\text{[math]}$ 上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难