综合与探究如图所示，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2．

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1. 综合与探究

如图所示，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2．

(1) 求二次函数及直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 点S是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

(3) 在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使 $\text{[math]}$ 的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式;

【答案】

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实践探究题普通

定义：在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标为 $\text{[math]}$ ，那么我们把经过点 $\text{[math]}$ 且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．

【特例感知】

（1）抛物线 $\text{[math]}$ 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．

【深入探究】

（2）经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【拓展运用】

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交该抛物线的对称轴于点 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

②若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 关于极限分割线对称，是否存在使点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等的 $\text{[math]}$ 的值？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

实践探究题困难

2. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴与抛物线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的动点，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴平行的直线与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究当点 $\text{[math]}$ 运动到何处时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

实践探究题普通

3. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数解析式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴直线 $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 左侧的抛物线上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧，若 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 的值是否为定值，若是，求 $\text{[math]}$ 的值；若不是，请说明理由；

(3) 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴左侧抛物线上一点（不与点 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

实践探究题困难