与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为的三边，且）表1abc345512137242594041表2abc681081517102426123537

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1. 与直角三角形三条边长对应的3个正整数 $\text{[math]}$ ，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为 $\text{[math]}$ 的三边，且 $\text{[math]}$ ）

表1

a	b	c
3	4	5
5	12	13
7	24	25
9	40	41

表2

a	b	c
6	8	10
8	15	17
10	24	26
12	35	37

(1) 根据表1中的规律，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______．

(2) 仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______， $\text{[math]}$ ， b，c之间的数量关系是______．

(3) 我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在 $\text{[math]}$ 中，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求直角边b的值．

【考点】

勾股数; 探索数与式的规律;

【答案】

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解答题容易

1. 课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．

若两直角边为 $\text{[math]}$ ，斜边为 $\text{[math]}$ ．

(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；

(2) 当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为奇数，且 $\text{[math]}$ ）时，若 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______时可以构造出勾股数（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；并证明你的猜想；

(3) 当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为偶数，且 $\text{[math]}$ ）时，若 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______时可以构造出勾股数（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

(4) 构造勾股数的方法很多，请你寻找当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ______．

解答题普通

2. 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c

根据你发现的规律，请写出

（1）当a=19时，求b、c的值；

（2）当a=2n+1时，求b、c的值；

（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．

解答题普通

3. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x²+y²=z²的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．

（1）请你再写出两组勾股数.

（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n²﹣1，z=n²+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．

解答题普通