如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．

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1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上一动点．

(1) 如图①，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系▲ ，证明你的猜想；

(2) 如图②，在（1）的条件下，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中， $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．

(3) 如图③，若点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，且始终满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形全等及其性质; 等腰三角形的性质; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 四边形-动点问题; 多边形的内角和公式;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，

(1) 求证：BE+DF=EF；

(2) 若BE=3，DF=2，求AB的长；

综合题普通

2. 如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．

(1) 如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2) 如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

综合题普通

3. 如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E ， ∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F ．

(1) 若∠F=70°，则∠ABC+∠BCD= °；∠E= °；

(2) 探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；

(3) 给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F ，所添加的条件为．

综合题普通