如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．

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1. 如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．

(1) 现将圆柱侧面沿 $\text{[math]}$ 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．

(2) 如图①，求该长度最短的金属丝的长．

(3) 如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？

(4) 如图③，圆柱形玻璃杯的高 $\text{[math]}$ ，底面周长为 $\text{[math]}$ ，在杯内壁离杯底 $\text{[math]}$ 的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 $\text{[math]}$ ，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）

【考点】

两点之间线段最短; 勾股定理的实际应用-最短路径问题; 圆柱的展开图;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，直四棱柱，底面是边长为8的正方形，侧棱长为16，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，蚂蚁从 $\text{[math]}$ 点沿着表面爬行到 $\text{[math]}$ 点的最短路程是多少？

解答题普通

2. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．

(1) （思想应用）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正实数，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且不与端点重合，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ______，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ______；

②据此直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值为______；

(2) （类比应用）已知 $\text{[math]}$ 为正实数 $\text{[math]}$ ，根据上述的方法，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通

3. 如图，一个底面为正方形的无盖长方形盒子的长、宽、高分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现在顶点 $\text{[math]}$ 处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点 $\text{[math]}$ 爬到 $\text{[math]}$ 处去吃蜜糖，求需要爬行的最短距离．（注：底面可以爬行）

解答题普通