我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：

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1. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到 $\text{[math]}$ ，基于此，请解答下列问题：

(1) 根据图2，写出一个代数恒等式： $\text{[math]}$ ______．

(2) 利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______．

(3) 小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形，直接写出m的所有可能取值______．

(4) 事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．

【考点】

多项式乘多项式; 完全平方公式的几何背景; 因式分解的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．

(1) 图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为__________、__________；从而得到的因式分解的等式是：______________________________；

(2) 观察图2，可以发现代数式 $\text{[math]}$ 可以因式分解为__________；

(3) 通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体，被如图所示的分割线分成8块．

①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，

这个因式分解的等式是：____________________；

②已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用上面的规律求 $\text{[math]}$ 的值．

③根据题（3）①得到的等式，请直接写出因式分解的结果：

$\text{[math]}$ ______________________________．

解答题普通

2. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1) 观察图2，请你写出下列三个代数式： $\text{[math]}$ 之间的等量关系：__________．

(2) 若要拼出一个面积为 $\text{[math]}$ 的矩形，则需要A号卡片__________张，B号卡片__________张，C号卡片__________张；

(3) 根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题：已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 两个正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 如图3摆放，边长分别为x，y．若 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分面积的和为__________．

解答题普通

3. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为 $\text{[math]}$ 的大正方形，2块是边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形，5块长是 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的相同的小长方形，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 观察图形，根据图中的面积关系写出一个关于a、b的多项式的因式分解：______；

(2) 若图中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，大长方形纸板的周长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

①求图中空白部分的面积；

②求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通