在中，，．正方形的边长是2，将正方形的顶点固定在的中点处，并绕点顺时针方向旋转，连接和，设直线和直线所夹的角为．

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．正方形 $\text{[math]}$ 的边长是2，将正方形的顶点 $\text{[math]}$ 固定在 $\text{[math]}$ 的中点处，并绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 所夹的角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到图2所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3) 设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一周的过程中，当 $\text{[math]}$ 所在的直线经过点 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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解答题困难

1. 如图在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 的中点连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. （1）如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（2）如图②，某小区有五栋楼，刚好围成五边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，在小区内部建立一个老年活动中心 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 栋楼到 $\text{[math]}$ 栋楼之间的距离与 $\text{[math]}$ 栋楼到老年活动中心 $\text{[math]}$ 的距离相等（即 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，老年活动中心 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 围成直角三角形 $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 的内心建立一个餐厅 $\text{[math]}$ ，现修建一条小路，使得 $\text{[math]}$ 栋楼的居民到餐厅 $\text{[math]}$ 的距离最小，请问是否存在最小距离 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．