已知矩形纸片中，，，点从点出发，沿做匀速运动．点运动的同时，将沿所在直线折叠，得到．

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1. 已知矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 做匀速运动．点 $\text{[math]}$ 运动的同时，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 内，则 $\text{[math]}$ ______；

(2) 点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

$\text{[math]}$ 【延伸】若点 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 点后继续匀速沿 $\text{[math]}$ 运动，直至到达点 $\text{[math]}$ 停止，设点 $\text{[math]}$ 的速度为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 运动的整个过程中，求出 $\text{[math]}$ 能覆盖点K的时长（含边界）．

(3) 设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．

游戏1 折出对角线 $\text{[math]}$ ，将点A沿过点B的直线翻折到 $\text{[math]}$ 上，折痕BE交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E．展开后如图2所示．

（1）若E恰好为 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

游戏2 在游戏1的基础上，将 $\text{[math]}$ 翻折至与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ，展开后将点A沿过点E的直线翻折到 $\text{[math]}$ 上的点G处，展开后如图3所示．

（2）在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

游戏3 在游戏1的基础上，将 $\text{[math]}$ 翻折至与先 $\text{[math]}$ 重合，展开后得到新折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，如图4所示，Q是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

（3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 【知识技能】

（1）如图1，在三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折后，点B落在点E处，如果 $\text{[math]}$ ，那么线段 $\text{[math]}$ 的长为多少？

【数学理解】

（2）如图2矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点：且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 相交于点F，则 $\text{[math]}$ 的值为：

【拓展探索】

（3）如图3，在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，把 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，当点A的对应点F刚好落在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上时，求 $\text{[math]}$ 的长．