一只蚂蚁从长2cm、宽为1cm、高为4cm.的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是.

1. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是cm；

填空题容易

2. 棱长分别为4cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E₁F₁上，且E₁P= $\text{[math]}$ E₁F₁ ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是．

填空题容易

1. 我们得到“三角形两边的和大于第三边”的依据是.

填空题普通

2. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S_△_ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是．

填空题普通

3. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是米．

填空题普通

1. 探究活动有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为 $\text{[math]}$ cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s

（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）

（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）

实践探究题困难

2. 阅读下列材料，解决提出的问题：

最短路径问题：如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．

如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．

为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C^' ，连接AC^' ， BC^' ， B^'C^' ．因为AB^'≤AC^'+C^'B^' ， ∴AC+CB＜AC'+C^'B，即AC+BC最小．

任务：

数学思考

（1）材料中划线部分的依据是　　．

（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是　　．（填字母代号即可）

A．转化思想

B．分类讨论思想

C．整体思想

迁移应用

（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为　　cm．

作图题普通

3. 如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）.

单选题容易

1. 材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

(1) 在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，把河岸抽象为直线 $\text{[math]}$ ，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．

A． B． C． D．

(2) 如图所示，牧童在 $\text{[math]}$ 处放牛，其家在 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，牧童从 $\text{[math]}$ 处把牛牵到河边 $\text{[math]}$ 饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．（可结合图形）

解答题容易

2.

(1) 【问题情境】

如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 $\text{[math]}$ （如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：

(2) 【操作实践】

如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 $\text{[math]}$ 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点 $\text{[math]}$ 为端点的四条线段之间的数量关系；

(3) 【探究应用】

如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，他发现旋转过程中 $\text{[math]}$ 存在最大值．若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求AD的长；

(4) 如图6，在RtABC中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题困难

3.

(1) 初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；

(2) 结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；

(3) 拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．

实践探究题困难

1. 如图，菱形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在坐标轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. 3 B. 5 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

单选题普通

3. 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图， $\text{[math]}$ 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）

A. 两点之间，线段最短 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线

单选题普通