已知矩形中，，点G是对角线上一点，且．点H是边中点，点F从点A出发，沿方向运动，速度为，点E从点A出发，沿方向运动，速度为，两点同时开始运动，运动的时间为x．若面积记为，面积记为，面积记为．当点F运动到点G的正上方时，E和F两点运动停止．

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1. 已知矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点G是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．点H是边 $\text{[math]}$ 中点，点F从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向运动，速度为 $\text{[math]}$ ，点E从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向运动，速度为 $\text{[math]}$ ，两点同时开始运动，运动的时间为x．若 $\text{[math]}$ 面积记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积记为 $\text{[math]}$ ．当点F运动到点G的正上方时，E和F两点运动停止．

(1) 如图①，点F在线段 $\text{[math]}$ （包含端点）上运动时， $\text{[math]}$ 与x的函数图象如图②所示，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图①，点F在线段 $\text{[math]}$ （包含端点）上运动时，请求出 $\text{[math]}$ 与x的函数表达式．

(3) 如图③，点F在线段 $\text{[math]}$ 上运动，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 动点问题的函数图象;

【答案】

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解答题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

解答题普通

2. 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究：

【教材呈现】（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，直接写出一个与 $\text{[math]}$ 相似的三角形；

【类比探究】（2）如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【拓展提升】（3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm²）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．

(1) 填空：BO＝cm；

(2) 当PQ∥CD时，求x的值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求y与x之间的函数关系式；

(4) 直接写出在整运动过程中，使AQ＝PQ的所有x的值．

解答题困难