如图1，已知在平行四边形中，，动点E在边上以1个单位每秒的速度从A向D运动，动点F在边上以a个单位每秒的速度从C向B运动，两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x秒，四边形的面积为S，S与x的函数关系如图2所示．

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1. 如图1，已知在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点E在边 $\text{[math]}$ 上以1个单位每秒的速度从A向D运动，动点F在边 $\text{[math]}$ 上以a个单位每秒的速度从C向B运动，两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x秒，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为S，S与x的函数关系如图2所示．

(1) 求a的值；

(2) 如图3，将四边形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折得四边形点 $\text{[math]}$ ，其中点A对应点为 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为 $\text{[math]}$ ， ①当 $\text{[math]}$ 正好落在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长度．②探究运动过程中， $\text{[math]}$ 的度数并直接写出结论．

【考点】

平行四边形的性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 通过函数图象获取信息;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【基础巩固】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，D ， E分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连结DE，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 【尝试应用】

如图2，在 $\text{[math]}$ 中，在 $\text{[math]}$ 上取一点E ，以 $\text{[math]}$ 为一边构造平行四边形 $\text{[math]}$ ，使点D ， F恰好落在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 【拓展提高】

如图3，在 $\text{[math]}$ 中，在 $\text{[math]}$ 上取一点E ，以 $\text{[math]}$ 为一边构造平行四边形 $\text{[math]}$ ，使点F恰好落在 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长。

实践探究题普通

2. 在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法．

【原题呈现】

如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，点O是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的延长线交射线 $\text{[math]}$ 于点N．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【尝试探究】

如图1，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，则 $\text{[math]}$ 　　， $\text{[math]}$ 　　， $\text{[math]}$ 　　．

【类比延伸】

如图2，在原题的条件下，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　（用含有k的代数式表示）．

【拓展迁移】

如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 的延长线上的一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点O．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　（用含m，n的代数式表示）．