数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式的二次项系数为a，常数项为b．

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1. 数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式 $\text{[math]}$ 的二次项系数为a，常数项为b．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当 $\text{[math]}$ 时，求此时点P对应的数．

(3) 在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度 $\text{[math]}$ ，在运动过程中，是否存在x，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

一元一次方程的实际应用-几何问题; 多项式的项、系数与次数; 数轴上两点之间的距离;

【答案】

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解答题普通

1. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了很多规律：若数轴上点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 表示的数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的之间的距离 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．

【问题情境】已知，在数轴上点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示的数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 是单项式 $\text{[math]}$ 的系数， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是多项式 $\text{[math]}$ 的次数和常数项． $\text{[math]}$ 为数轴上一动点．

【综合运用】

(1) 填空： $\text{[math]}$ ________，线段 $\text{[math]}$ 的中点表示的数________；

(2) 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．若 $\text{[math]}$ 点到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的距离和等于27，则 $\text{[math]}$ ________；

(3) 动点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别从点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发沿数轴向右运动，点 $\text{[math]}$ 的速度为每秒1个单位长度，点 $\text{[math]}$ 的速度为每秒2个单位长度，求运动几秒后，点 $\text{[math]}$ 可以追上点 $\text{[math]}$ ？

(4) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的二次二项式， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是数轴上两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对应的数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) A点对应的数 $\text{[math]}$ _________，B点对应的数 $\text{[math]}$ _________，线段 $\text{[math]}$ _________；

(2) 若小虫甲到点 $\text{[math]}$ 后就沿着数轴以每秒5个单位的速度向右爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 出发向右爬行，乙的速度是每秒2个单位，丙的速度是每秒1个单位，假设三个小虫同时运动秒后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若三只小虫都沿着数轴向右爬行，则 $\text{[math]}$ 是定值吗？如果是，请求出这个定值；

(3) 如图2，在数轴上方从点 $\text{[math]}$ 出发引出射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 秒的速度逆时针旋转 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中的一个角的度数恰好是另一个角度数的两倍，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 已知式子 $\text{[math]}$ 是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b．

(1) 则 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ _________，A，B两点之间的距离=_________；

(2) 有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点P所对应的有理数．

(3) 在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能，请求出此时点P的位置；若不可能，请说明理由．

解答题困难