如图，在中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M；连接AM并延长交DC于点F，连接EF．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，两弧交于点M；连接AM并延长交DC于点F，连接EF．

(1) 根据以上尺规作图的过程，判断四边形AEFD的形状是______；

(2) 若四边形AEFD的周长为8， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 平行四边形的判定与性质; 菱形的判定与性质; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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作图题普通

1. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，完成下列作图和证明过程．

(1) 尺规作图：作 $\text{[math]}$ 的角平分线交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

证明：∵ $\text{[math]}$ ， ∴ ▲ ．

又∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．

∴ ▲ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

又∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

∴ ▲ ．

又∵ $\text{[math]}$ ， ∴四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．

∴ $\text{[math]}$ （ ▲ ）．

作图题普通

2. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(1) 用尺规完成下列基本作图：在 $\text{[math]}$ 上取点E ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于F；（保留作图痕迹，不写作法）

(2) 根据（1）中作图，求证： $\text{[math]}$ ，补充完成下列证明过程（答案填写在答题对应标号位置）．

证明：∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ▲ ，

∵四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ▲ ，

∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ▲ ，

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ▲ ，

∵ $\text{[math]}$ ， ∴四边形 $\text{[math]}$ 为 ▲ ， ∴ $\text{[math]}$ ．

作图题普通

3. $\text{[math]}$ 是平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$

(1) 请用尺规作 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （只保留作图痕迹，不写结论，不写作法）

(2) 根据图形，证明四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，请完成下面的填空

证明： $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ▲ （两直线平行，内错角相等）

$\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ ▲

$\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ▲

又 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形 ▲ （填推理的依据）

作图题普通