已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DB平分∠ADC．

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1. 已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DB平分∠ADC．

(1) 求证：AB＝BC；

(2) 如图2，若∠ADB＝60°，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3) 如图3，在（2）得条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE、AF交于点M，连接EF，若∠CMF＝60°，AD＝EF＝7，CD＝8（CF＞BF），求AE的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 等边三角形的判定; 含30°角的直角三角形; 勾股定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\text{[math]}$ 的顶点A ， B均在格点上， $\text{[math]}$ ，经过A ， B ， C三点的圆的半径为 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长等于；

(2) 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足 $\text{[math]}$ ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）

综合题普通

2. 已知在 $\text{[math]}$ 中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC，AP．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；

②求BC的长；

(2) 过点D作 $\text{[math]}$ ，交AP延长线于点E，如图2所示．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 如图①，有一组平行线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，正方形ABCD的四个顶点分别在l₁、l₂、l₃、l₄上，EG过点D且垂直于l₁于点E，分别交l₂、l₄于点F、G，EF＝DG＝1，DF＝2.

(1) AE＝，正方形ABCD的边长＝；

(2) 如图②，将∠AED绕点A顺时针旋转α°得到∠AE′D′，且0°＜α＜90°，点D′在直线l₃上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AD′C′B′，使点B′、C′分别在直线l₂、l₄上．

①写出∠B′AD′与α的函数关系并给出证明；

②若α＝30°，求菱形AD′C′B′的边长．

综合题困难