如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是．

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1. 如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点 $\text{[math]}$ ，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是．

【考点】

勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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填空题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，在△AOB中，AO=1，BO=AB= $\text{[math]}$ ．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A^'OB^' ，连接AA^' ．则线段AA^'的长为．

填空题容易

2. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B为x轴上一动点，连接AB，线段AB绕着点B按顺时针方向旋转90°至线段CB，过点C作直线l∥y轴，在直线l上有一点D位于点C下方，满足CD＝BO，则当点B从（﹣3，0）平移到（3，0）的过程中，点D的运动路径长为.

填空题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

填空题容易

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ （结果保留根号）．

填空题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将边AB绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到AD，边AC绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ )得到AE，连结DE.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题普通

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .将矩形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），得到矩形 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ .在矩形 $\text{[math]}$ 旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的三等分点时， $\text{[math]}$ .

填空题困难

1. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．

【问题初探】

（1）如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，求出图中线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

如图1，从条件出发：将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 位置，根据“旋转的性质”分析 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．

【类比分析】

（2）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【学以致用】

（3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ 的周长．

解答题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. 5 C. 6 D. $\text{[math]}$

单选题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图1，点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 的延长线上任意一点，以线段 $\text{[math]}$ 为边作一个正方形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系：______， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系：______；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 如图2，正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之差；若变化，请说明理由．

解答题困难

2. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上， $\text{[math]}$ ，连接EF ，则 $\text{[math]}$ DF，试说明理由．

(1) 思路梳理

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，可使AB与AD重合．

$\text{[math]}$ 点F，D，G共线．根据（从“SSS，ASA，AAS， $\text{[math]}$ ”中选择填写），易证 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．

(2) 类比引申

如图2，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在边BC，CD上， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 都不是直角，则当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足等量关系时，仍有 $\text{[math]}$ ．