【背景介绍】烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．【问题情境】距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表：d/m010203040506070h/mk【探究过程】小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；

1. 【背景介绍】

烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．

【问题情境】

距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为 $\text{[math]}$ （单位：m），获得数据如表：

d/m	0	10	20	30	40	50	60	70
h/m	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	k

【探究过程】

小勇根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；

(1) k的值为______，

(2) 在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．

(3) 请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？

(4) 烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？

【考点】

二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 描点法画函数图象; 通过函数图象获取信息;

【答案】

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实践探究题普通

1. 小爱同学学习二次函数后，对函数 $\text{[math]}$ 进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

(1) 观察探究：

①至少写出该函数的两条性质；

②直接写出方程 $\text{[math]}$ 的解；

③直接写出方程 $\text{[math]}$ 有四个实数根时 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(2) 延伸思考：

将函数 $\text{[math]}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象?写出平移过程，并直接写出当 $\text{[math]}$ 时，自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围．

实践探究题困难

2. 综合与探究

如图所示，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2．

(1) 求二次函数及直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 点S是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

(3) 在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使 $\text{[math]}$ 的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由．

实践探究题普通

定义：在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标为 $\text{[math]}$ ，那么我们把经过点 $\text{[math]}$ 且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．

【特例感知】

（1）抛物线 $\text{[math]}$ 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．

【深入探究】

（2）经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【拓展运用】

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交该抛物线的对称轴于点 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

②若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 关于极限分割线对称，是否存在使点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等的 $\text{[math]}$ 的值？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

实践探究题困难