如图，抛物线与x轴交于点，点，交y轴于点．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，交y轴于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，点P在直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上运动，K是线段 $\text{[math]}$ 的动点，过点P作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴于点F，求 $\text{[math]}$ 的最大值时， $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为 $\text{[math]}$ ，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得 $\text{[math]}$ ，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

【考点】

二次函数图象的几何变换; 等腰三角形的性质; 勾股定理;

【答案】

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解答题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为点C．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，解决下列问题．

①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标；

②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及 $\text{[math]}$ 的一段，分别记为 $\text{[math]}$ ．平移该胶片，使 $\text{[math]}$ 所在抛物线对应的函数恰为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 移动的最短路程；

(2) 已知直线 $\text{[math]}$ ．定义：横纵坐标均为整数的点称为“美点”

①判断直线 $\text{[math]}$ 是否过点 $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 时，直接写出直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 围成的封闭图形边界上“美点”的个数；

③当 $\text{[math]}$ 时，记抛物线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的部分为 $\text{[math]}$ ．光点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 弹出，沿直线 $\text{[math]}$ 发射，若击中抛物线 $\text{[math]}$ 上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数 $\text{[math]}$ 的个数．